チョコが無限に増える方法【ポーランド数学者が発見】バナッハ＝タルスキーの定理

この定理をもっと噛み砕いて言うと…
ここに1個のチョコがあるとします。このチョコを特別な方法で小さくカットし、そのカケラを動かしたり、回転させながら並び替えます。すると、同じ大きさのチョコが2個できます。この動作を無限に繰り返すと、チョコは無限に増えていきます！
　
　ふつうに考えたら、チョコレートをカットして並び替えるくらいで無限に増えるなんて絶対あり得ませんね。質量保存の法則に反しています。
だから、この定理は一般的に「バナッハ＝タルスキーのパラドックス」と呼ばれています。つまり【数学的にはチョコレートは無限に増やせる】ということであって、再現は出来ません。ポイントは、「無限」という数学ならではの考え方にあります。
　
　 ここで「やっぱり現実の話じゃないのか…」と興醒めした人も多いはず。そう思ったなら、それがまさにこの定理の狙いです。数学の世界では、日常の感覚とは全く違う結果が生まれるー！
そのことを直感的に示すのが、この定理の存在意義とも言えます。数学的に可能だからといって、物理的にも可能とは限らないということですね

　現実の世界で何かを小さく切る場合、ある程度のカタチが見られます。しかし数学的に切る場合、現実の世界では再現できないほどものすごく複雑なカタチで、無限にたくさんの点を含みます。「無限」は実に特別。数を数えるにしても、1.1, 1.2, 1.3… はたまた、1.01, 1.02, 1.03…と数えることもできるわけで、こうやって考えると、私たちは0と1の間さえ正確に数えることが出来ません。
　
　さらに、数学的に分けられたカケラはあまりにも小さく、ゆえに「体積」（ルベーグ測度）という考え方は意味を持ちません。なぜなら、そのカケラは物理的なものではなく、無限に細かく入り組んだ特殊な形をしているので体積を測れないのです。
「無限にたくさんの点」を、位置や方向を工夫しながら新しい場所に移していくとき、1つのカケラに含まれる点が無限なら、それを移動してもまた無限…。無限の点をどこにどう移しても並べ替えは自由。動かす回数にも制限がないため、元のサイズと同じ球を任意の個数作り出すことができます。
　
　さて、この定理は「選択公理」という数学の基本的な概念に関係します。選択公理とは、「いくつかの入れ物があって、それぞれに1つのモノが入っているとき、どの入れ物からも1つずつモノを選び取ることができる＝無限の集合からモノを選び出すことを保証するルール」という考え方。言葉にすると単純ですが、この選択公理を使わないとバナッハ＝タルスキーの定理は証明できません（実務的視点から「選択公理は不要」という人もいます）。

　たとえば、あなたはたくさんの袋を持っているとします。それぞれの袋にはいろんな色のビー玉が1個以上入っていて、あなたはすべての袋から1個ずつビー玉を取り出して、新しい袋に入れることができます。…と、ここでポイントとなるのが、選択公理では「中身が無限にあったり、見えなかったりしても選べる」と仮定している点。中身が無限にある場合でも選べる、これが直感に反するのです。
　
　こういった矛盾をはらむ選択公理のもとで成り立つ数学理論は、ほかにもあります。この定理を直感的におかしいと否定することは、選択公理のうえで成り立つほかの理論をも否定することに繋がりかねません。そうなると、「いちからやり直し！」という数学の問題がわんさか出てくるかも…。
　
　ここで、バナッハ＝タルスキーの定理に立ち返って考えてみましょう。この定理ではまず、球を分割する際に「無限に細かくて見えないような点」の集合を選び出す必要があります。現実の世界では「この点とあそこの点と…」と一つ一つ選んでいけばいいのですが、「無限に多くの点」からどうやって特定の点を選べばいいんでしょうか。そもそも見つけ方を探すのが不可能のように思います。しかし、ここで選択公理を使うと、無限にたくさんの点から1つずつ選び出すことが可能になります。となると、無限の動作が延々とつづき……、選択公理の問題点が見えてくるわけです。数学者さん、こんなワケの分からない公理を認めていいんですか？と。